ファイバー (数学)

数学において、用語ファイバー (fiber, fibre) は文脈によって次の2つの意味を持つ：

1. 素朴集合論において、写像 f: X → Y のもとでの集合 Y の元のファイバーとは、単元集合 {y} の f による逆像のことである。
2. 代数幾何学において、スキームの射のファイバーの概念は、一般に全ての点が閉とは限らないから、より注意深く定義されなければならない。

定義

素朴集合論におけるファイバー

f: X → Y を写像とする。元 y ∈ Y のファイバー は、

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\in X\,|\,f(x)=y\}}$

と定義され、f⁻¹(y) とも書かれる。

様々な応用においてこれはまた次のようにも呼ばれる：

• 写像 f による ${\displaystyle \{y\}}$ の逆像、
• 写像 f による ${\displaystyle \{y\}}$ の原像、
• 点 y における関数 f の等位集合。

等位集合という用語は f が実数値でしたがって y が単に数であるときにのみ用いられる。f が R^d の領域上の連続関数で、y が f の像に入っていれば、f に対する y の等位集合は、2次元空間内の曲線や、3次元空間内の曲面、一般には d − 1 次元の超曲面である。

代数幾何学におけるファイバー

代数幾何学において、f: X → Y がスキームの射であれば、Y の点 p のファイバーはファイバー積 ${\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)}$ である、ただし k(p) は p における剰余体。

Terminological variance

用語「ファイバー」、「逆像」、「原像」、「等位集合」の推奨された使い方は以下のとおりである：

• 写像 f のもとでの元 y のファイバー
• 写像 f のもとでの集合 ${\displaystyle \{y\}}$ の逆像
• 写像 f のもとでの集合 ${\displaystyle \{y\}}$ の原像
• 点 y における関数 f の等位集合。

用語の濫用によって、以下のように使われることがあるが、避けるべきである：

• 元 y における写像 f のファイバー
• 元 y における写像 f の逆像
• 元 y における写像 f の原像
• 写像 f のもとでの点 y の等位集合。

例

f を実関数 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{2}}$ とし、y を実数とする。

• y > 0 であれば、y のファイバーは二元集合 ${\displaystyle \{{\sqrt {y}},-{\sqrt {y}}\}}$ である。
• y = 0 であれば、y のファイバーは単元集合 ${\displaystyle \{0\}}$ である。
• y < 0 であれば、y のファイバーは空集合 ${\displaystyle \varnothing }$ である。

関連項目

• ファイブレーション
• ファイバー束
• ファイバー積
• 像 (圏論)
• 像 (数学)
• 逆関係
• 核 (代数学)
• 等位集合
• 原像
• 関係 (数学)
• 零点集合